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items: 人工智能导论复习笔记
items: 复变函数与积分变换复习笔记

人工智能导论复习笔记
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date: 2024-05-04T01:30:00+08:00
description: 人工智能导论绪论人工智能的基本概念人工智能用人工的方法在机器（计算机）上实现的智能图灵测试机器通过测试，就具有智能。人工智能的发展简史孕育阶段形成阶段发展阶段强弱人工智能弱人工智能主要关注执行结果，是否模拟人类并不重要强人工智能模拟人类、能够执行“通用任务”的人工智能人工智能的主要学派符号主义物理符号系统假设和有限合理性原理连接主义神经网络和神经网络间的连接机制和学习算法行为主义控制论及感知-动作型控制系统人工智能的主要研究领域与典型应用搜索搜索的基本概念搜索方向正向搜索逆向搜索双向搜索搜索策略盲目搜索在不具有对特定问题的任何有关信息的条件下，按固定的步骤（依次或随机调用操作算子）进行的搜索。启发式搜索考虑特定问题领域可应用的知识，动态地确定调用操作算子的步骤，优先选择较适合的操作算子，尽量减少不必要的搜索，以求尽快地到达结束状态。状态空间图和搜索树状态空间表示法状态表示系统状态、事实等叙述型知识的一组变量或数组：$Q=[q_1,q_2,\dots,q_n]$操作表示引起状态变化的过程型知识的一组关系或函数：$F=\{f_1,f_2,\dots,f_m\}$状态空间利用状态变量和操作符号，表示系统或问题的有关知识的符号体系，状态空间是一个四元组：$(S,G,S_0,G)$求解路径从$S_0$结点到$G$结点的路径。状态空间解一个有限的操作算子序列。状态空间的图描述状态空间图用有向图描述状态空间，称为状态空间图 .结点表示状态、边表示操作算子初始状态为根结点图中某一路径↔一种状态转换为另一种状态的操作算子序列盲目搜索策略回溯策略贪婪策略宽度优先搜索定义以接近起始节点的程度（深度）为依据，进行逐层扩展的节点搜索方法。保存状态空间搜索轨迹用到的表Open：已经生成出来但其子状态未被搜索的状态（类似NPS表） 。Closed：记录了已被生成扩展过的状态（相当于 PS表和NSS表的合并） 。深度优先搜索定义首先扩展最新产生的节点，深度相等的节点按生成次序的盲目搜索。特点扩展最深的节点使得搜索沿着状态空间某条单一的路径从起始节点向下进行；仅当搜索到达一个没有后裔的状态时，才考虑另一条替代的路径。启发式搜索策略最佳优先搜索最佳优先搜索算法（Best-First-Search） 是用估价函数f(n) 对将要被遍历到的节点进行估价，然后选择最有希望的节点进行遍历。启发式搜索策略启发式信息用来简化搜索过程的有关具体问题领域的特性信息叫做启发信息启发式搜索：利用启发信息的搜索方法估价函数（evaluation function） ：估算节点“希望” 程度的度量估价函数值 f(n) ：从初始节点经过n节点到达目标节点的路径的最小代价估计值， 其一般形式是$f(n)=g(n)+h(n)$A搜索寻找并设计启发函数h(n)， 然后以f(n)的大小来排列OPEN表中待扩展状态的次序， 每次选择 f(n) 值最小者进行扩展。A*搜索定义h(n)为状态n到目的状态的最优路径代价， 当A搜索算法的启发函数满足可采纳性（admissibility），即h(n)小于等于h(n)，表示如下：$$ h(n) ≤ h*(n), 对所有结点n $$时，被称为A*搜索算法。统一代价搜索佳优先搜索的特例估价函数： f(n) = g(n)是对宽度优先的改进，可以解决有权重图搜索问题，宽度优先搜索只能处理无权重图搜索问题Dijkstra算法贪婪最佳优先搜索估价函数： f(n) =h(n)机器学习机器学习的基本概念机器学习通过算法使得机器能从大量数据中学习规律从而对新的样本做决策。规律：决策（预测）函数常见的机器学习问题回归分类聚类三要素模型学习准则损失函数风险最小化准则过拟合和欠拟合优化算法参数： 模型 𝑓(𝒙; 𝜃) 中的参数 𝜃超参数：用来定义模型结构或优化策略的参数机器学习的分类及概述分类按标签信息来源分类：监督学习无监督学习强化学习按学习方法分类（温斯顿， 1977 ）机械式学习、指导式学习、示例学习、类比学习、解释学习等。符号学习、非符号学习（连接学习）按推理方式分类：基于演绎的学习（解释学习）。基于归纳的学习 （示例学习、发现学习等 ）。按综合属性分类：归纳学习、分析学习、连接学习、遗传式学习等概述监督学习已知输入和输出的情况下训练出一个模型，将输入映射到输出通过学习标记的训练样本来构建预测模型，并依此模型推测新的实例输出可以是一个连续的值（称为回归分析），或是预测一个分类标签（称作分类）无监督学习不给定事先标记过的训练示例，自动对输入的数据进行分析不需要数据标注，对大数据分析很重要，但在实际应用中性能受限包括聚类、降维等强化学习强化学习（Reinforcement learning） 中外部环境对系统输出结果只给出评价信息（奖励或惩罚），而不是正确答案，学习系统通过那些…

复变函数与积分变换复习笔记
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date: 2023-11-26T00:28:00+08:00
description: 复变函数与积分变换复数$$ \displaylines{ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\\ z = re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta) } $$解析函数❗C-R方程$$ \frac{\partial\varphi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y},\space \frac{\partial\psi}{\partial x} = -\frac{\partial\varphi}{\partial y} $$初等函数指数函数$$ e^{z+2k\pi i}= e^z $$对数函数$$ \ln z = \ln|z|+i \arg z\\ $$幂函数$$ z^\alpha = e^{\alpha \mathrm{Ln} z} $$$\alpha$为n时为单值函数，1/n时为n值函数，0时为1，p/q时q值，无理数或复数时无穷多值。三角函数$$ \displaylines{ \cos z = \frac1 2(e^{iz}+e^{-iz})\\ \sin z = \frac1 {2i}(e^{iz}-e^{-iz})\\ } $$积分$$ \displaylines{ \int_C f(z)\mathrm{d}z = \int_Cu\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\int_Cv\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y\\ \oint_C\frac{\mathrm{d}z}{(z-z_0)^n}= \left\{ \begin{aligned} &2\pi i & &n=1 \\ &0 & &n\neq 1 \end{aligned} \right.\\ |\int_Cf(z)\mathrm{d}z|\leq\int_c|f(z)|\mathrm{d}s } $$柯西积分定理f在D内解析，C在D内。与路径无关。$$ \displaylines{ \int_Cf(z)\mathrm{d}z= 0\\ \oint_Cf(z)\mathrm{d}z = \sum^n_{k=1}\oint{C_k}f(z)\mathrm{d}z } $$柯西积分公式$$ f(z) = \frac1{2\pi i} \oint_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm d\zeta $$高阶导数$$ \displaylines{ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\mathrm d\zeta\\ \oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(zi) } $$级数幂级数$$ \sum^\infty_{n=0}C_n(z-z_0)^n $$收敛半径$$ \displaylines{ \lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac {C_{n+1}} {C_n}|\\ \lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|C_n|} } $$泰勒级数$$ C_n=\frac1{n!}f^{(n)}(z_0) $$❗常用幂级数$$ \displaylines{ e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z_n}{n!}\\ \frac1{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n,\space |z|<1 } $$洛朗级数$$ \displaylines{ f(z) = \sum^\infty_{n=-\infty}C_n(z-z_0)^n\\ Cn = \frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\mathrm d\zeta } $$留数❗留数定理$$ \oint_Cf(z)\mathrm{d}z=2\pi i\sum^n_{k=1}\mathrm{Res}[f(z),z_k] $$简单极点$$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z) $$一阶极点$$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} $$❗m阶极点$$ \mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac1{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow z_0}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{…